측정모델에서 통계적 모델 처리 방법

GUM 에서 측정모델은 $n$ 개의 입력량 $x_1,\ldots,x_n$ 에 대한 출력량 $y$ 의 관계를 기술하는 함수 $y=f(x_1,\ldots,x_n)$ 이다. 반면에 통계적 모델 $f(x;\theta)$ 은 $\theta$ 인 가정에서 $x$ 의 확률 $p(x|\theta)$ 인 확률밀도함수이다. 모집단 분포 $f(x;\theta)$ 로부터의 표본이 관찰값 세트 ($x_1,\ldots,x_n$) 일 때에 GUM 의 측정모델에서 통계적 모델을 처리하는 방법을 알아보자.

 

가령 통계적 모델이 정규분포 $f(x;\mu,\sigma^2)$ 이면 관찰값 세트 ($x_1,\ldots,x_n$) 에 대한 관찰식은 다음과 같다. $$x_i=\mu+E_i~~~~~i=1,\ldots,n$$ 여기서 $E_i$ 은 평균이 0이고 표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포의 독립적인 확률변수의 값으로 측정오차를 나타낸다. 비록 관찰값 세트 ($x_1,\ldots,x_n$) 가 주어졌지만 측정함수는 관찰값 세트의 함수가 아닌 매개변수의 함수이다. 다음은 측정함수의 몇 가지 예를 보이고 있다. $$y=\mu \\ y=\sigma\\ y=\mu+\sigma\\ \cdot \cdot \cdot \\ y=f(\mu,\sigma)$$ 실제 출력량의 값은 각 매개변수의 추정량 $\hat{\mu}$ 과 $\hat{\sigma}$ 을 이용하여 구한다. $$y=\hat{\mu} \\ y=\hat{\sigma} \\ y=\hat{\mu}+\hat{\sigma}\\ \cdot \cdot \cdot \\ y=f(\hat{\mu},\hat{\sigma})$$

 

최대가능도 방법과 같은 매개변수 추정방법을 이용하여 추정값 $\hat{\mu}$ 과 $\hat{\sigma}$ 은 다음과 같이 관찰값 세트 ($x_1,\ldots,x_n$) 의 함수로 구할 수 있다. $$\hat{\mu}=\hat{\mu}(x_1,\ldots,x_n) \\ \hat{\sigma}=\hat{\sigma}(x_1,\ldots,x_n)$$ 비슷하게 추정량의 분산 $\sigma^2_{\hat\mu}$ 과 $\sigma^2_{\hat\sigma}$, 그리고 공분산 $\sigma_{{\hat\mu},{\hat\sigma}}$ 도 관찰값 세트 ($x_1,\ldots,x_n$) 의 함수로 구할 수 있다.

 

이렇게 구한 추정값, 분산 그리고 공분산 값을 $y$ 의 측정함수와 다음의 불확도 관계식에 대입하면 출력량의 값 $y$ 과 불확도 $u(y)$ 을 관찰값 세트 ($x_1,\ldots,x_n$) 의 함수로 나타낼 수 있다.

$$u(y)=u(\hat{\mu})= \sigma_{\hat{\mu}} \\ u(y)=u(\hat{\sigma}) =\sigma_{\hat{\sigma}} \\ u^2(y)=u^2(\hat{\mu})+u^2(\hat{\sigma}) +2 u(\hat{\mu},\hat{\sigma})=\sigma^2_{\hat{\mu}}+ \sigma^2_{\hat{\sigma}} +2 \sigma_{{\hat\mu},{\hat\sigma}} \\ \cdot \cdot \cdot \\ u^2(y)= \left( \frac {\partial f}{\partial \mu} \right)^2 u^2(\hat{\mu}) + \left( \frac {\partial f}{\partial \sigma} \right)^2 u^2(\hat{\sigma}) +2 \frac {\partial f}{\partial \mu} \frac {\partial f}{\partial \sigma} u(\hat{\mu},\hat{\sigma}) =\left( \frac {\partial f}{\partial \mu} \right)^2 \sigma^2_{\hat{\mu}} + \left( \frac {\partial f}{\partial \sigma} \right)^2 \sigma^2_{\hat{\sigma}}+2 \frac {\partial f}{\partial \mu} \frac {\partial f}{\partial \sigma} \sigma_{{\hat\mu},{\hat\sigma}} $$

 

결론적으로 GUM 측정모델의 통계적 모델에 대한 취급 방법은 $n$ 번 반복측정의 평균을 이용한 모수에 대한 방법과 같다. 이 결론은 통계적 모델이 연속적인 데이터에 대한 예에서 얻어지만 히스토그램 데이터나 회귀데이터의 통계적 모델에도 유효하다. 측정함수가 관찰값 세트 ($x_1,\ldots,x_n$) 의 함수가 아니라 모델의 매개변수의 함수이기 때문이다.